Module de Young / Module d'élasticité
Le module de Young ou module d'élasticité ou encore module de traction est la constante qui relie la contrainte de traction et la déformation pour un matériau élastique isotrope.
Catégories :
Mécanique des milieux continus - Biomécanique - Biomathématiques
Définitions :
- Le rapport entre la tension normale et la déformation correspondante au cours d'efforts de compression ou de traction inférieurs à la limite proportionnelle du matériau. (source : elastoproxy)
Le module de Young ou module d'élasticité (longitudinale) ou encore module de traction est la constante qui relie la contrainte de traction (ou de compression) et la déformation pour un matériau élastique isotrope.
Le physicien britannique Thomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. La loi d'élasticité est la loi de Hooke :
où :
- σ est la contrainte (en unité de pression),
- E est le module de Young (en unité de pression),
est l'allongement relatif (adimensionnel).
Le module de Young est la contrainte mécanique qui génèrerait un allongement de 100 % de la longueur d'origine d'un matériau (il doublerait par conséquent de longueur), si on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façon permanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur soit atteinte.
Un matériau dont le module de Young est particulièrement élevé est dit rigide. L'acier, l'iridium, le diamant, sont des matériaux particulièrement rigides, l'aluminium et le plomb le sont moins, les matières plastiques et organiques sont le plus souvent peu rigides. Il ne faut cependant pas confondre élasticité et rigidité puisque la raideur d'une poutre par exemple dépend de son module de Young mais également du moment d'inertie de sa section.
Note
Il ne faut pas confondre rigidité et raideur. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les produits et les constructions. Une pièce mécanique massive en matière plastique peut être bien plus raide qu'un ressort en acier.
Unités
D'après l'équation aux dimensions, le module de Young est homogène à une pression, ou plus exactement une contrainte. L'unité internationale est par conséquent le pascal (Pa). Cependant, à cause des valeurs élevées que prend ce module, il est généralement donné en gigapascal (GPa).
Expression théorique
Dans le cas d'un matériau cristallin et certains matériaux amorphes, le module de Young exprime la «force de rappel» électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer selon la dérivée seconde du potentiel interatomique.
Dans le dispositif d'unités «naturelles» atomique, le module de Young, pour un matériau isotrope, est homogène à[1] :
où 
.
Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser soit
- comme E1 = E0 / (16π2) , soit
- comme E2 = E0 / 64π6,
les ordres de grandeur de E1 ou E2 sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de 100 GPa, qui apparaissent alors relever de ce corpus théorique.
Dans le cas des polymères, c'est l'agitation thermique qui «tortille» la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module de Young peut alors s'exprimer selon l'entropie.
Cette différence de comportement est flagrante quand on considère l'influence de la température ; si on soumet une éprouvette à une charge constante :
- quand on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), par conséquent son module de Young diminue, alors que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) par conséquent son module de Young augmente[réf. nécessaire] ;
- quand on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) par conséquent son module de Young augmente, alors que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) par conséquent son module de Young diminue[réf. nécessaire].
Relations
Avec le module de cisaillement (G) et le cœfficient de Poisson (ν) :
.
Avec λ et μ nommées cœfficients de Lamé :
.
Les méthodes de mesure du module d'Young
Le plus simple reste évidemment de réaliser un essai de traction. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module de Young E. Cependant, il est complexe de réaliser cette mesure avec une bonne précision.
C'est pourquoi on préfère, quand cela est envisageable, déduire le module de Young de la fréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.
On peut aussi mesurer la vitesse du son dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module de Young sachant qu'on a la relation suivante :
Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du cœfficient de Poisson.
Le module de Young augmente avec la vitesse de déformation.
Le module de Young complexe peut être déterminé par DM (T) A.
Quelques valeurs numériques de modules d'Young
Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre 10kPa (mousses) et 1000GPa (céramiques technique).
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Utilisations
- Médecine
La mesure des variations du module de Young dans un organe est une possibilité de l'imagerie médicale qui sert à représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de la fibrose d'un foie ou détecter dans un sein un carcinome petit ou profond, peu décelable à la palpation (élastographie de 2e génération).
Références
- Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l'état solide [«Solid state physics»], 1998 [détail des éditions], chapitre 3.
- Ch. KITTEL, physique du solide, éd. Dunod ; chapitre : constantes d'élasticité.
- Michæl F. Ashby, David R. H. Jones, Matériaux 1. Propriétés et applications, éd. Dunod; chapitre 3 : Les constantes d'élasticité.
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