Rhéologie des solides

La rhéologie est une partie de la physique qui étudie la plasticité, l'élasticité, la viscosité et la fluidité caractéristiques des corps déformables.

Propriétés mécaniques des solides

Lire l'article déformation élastique en guise d'introduction.

Contrainte et déformation

La pression sur un cylindre de section S change cette dernière. On considère généralement cette variation comme négligeable

En physique, l'effort exercé sur une pièce est représenté par la force $F$ , exprimée en Newton (N). La variation dimensionnelle est une longueur, exprimée en mètres.

Cependant, ceci dépend de la forme de la pièce. Si on s'intéresse aux propriétés du matériau, il faut s'abstraire des dimensions de la pièce. On caractérise par conséquent l'effort par la contrainte et la variation dimensionnelle par la déformation

Contrainte: Si $S$ est la surface sur laquelle s'exerce la force $F$ , on définit la contrainte $σ$

$\sigma = {F \over S}$

La surface dépend de la déformation, mais pour les petites déformations, ceci est fréquemment négligé.
Déformation: Si $L 0$ est la longueur d'origine de la pièce, alors la déformation $ε$ est l'allongement relatif (sans unité) $\varepsilon = \ln{L \over L_0} = \ln{(L_0 + \Delta L) \over L_0 } = \ln {(1 + \frac{\Delta L}{ L_0})}$; Si la contrainte est faible alors la déformation est faible et donc $\varepsilon= {\Delta L \over L_0 }$

Articles détaillés : Tenseur des contraintes et Tenseur des déformations.

Propriétés du matériau

Schéma du cisaillement d'un solide

La compression est la même sur chaque face du solide.

Lors de son utilisation, une pièce peut se déformer de manière complexe. Pour permettre l'étude, on considère des déformations modèles simples.

Ces déformations simples permettent de définir des caractéristiques chiffrées du matériau.

Compression/traction uniaxiale: module d'Young, noté $E c$ et exprimé en Pa ou plus fréquemment en GPa

$E_c={\sigma \over \varepsilon}$

Lors d'un étirement ou d'un raccourcissement, on constate un élargissement ou une contraction de la pièce, caractérisée par le cœfficient de Poisson

ν

(sans unité)

$\nu = \frac12 \left ( 1 - \frac1V \cdot \frac{\Delta V}{\varepsilon} \right ) \le 0,5$

ν = 0, 5

alors

Δ V

est faible comparé à

ε

; exemples de valeur de cœfficient de Poisson :

$ν = 0, 5$ : liquide
$ν = 0, 5$ : caoutchouc
$ν = 0, 2 - 0, 35$ : verre, polymère solide

Cisaillement: module de cisaillement, noté $G$ :

$G = {\tau \over \gamma}= {F_{/AB} \over \Delta L / L}$

complaisance de cisaillement, notée

J

$J={1 \over G}$

Flexion: combinaison de traction, compression, cisaillement.

Compression isostatique (ou hydrostatique): module de compressibilité (bulk modulus) noté $K$ :

$K= {P \over \Delta V/V_0 }$

Relation entre les propriétés mécaniques

On a par conséquent quatre cœfficients $E$ , $G$ , $B$ et $ν$ , et deux relations. On peut alors écrire :

E = 2. (1 + ν). G

$E = {9°G \over {3°+ G}}$

Types d'essais mécaniques

Essais statiques
- $σ = Cte$ : Fluage
- $\varepsilon = \rm Cte$ : Relaxation
- ${ \Delta L \over \Delta t} = \rm Cte$ : Traction

Essais dynamiques : $σ, ε$ fluctuent selon le temps

Article détaillé : Essai mécanique.

Viscoélasticité

Deux polymères différents ont des comportements différents selon les températures

La rigidité d'un solide (polymère) dépend du temps

La viscoélasticité d'un corps dépend de sa température et du temps de repos. On note généralement :

E = f (T, t)

On étudiera tandis qu'une de ses deux variables à la fois.

Si on sollicite le solide, on le fera à température constante
Si on fait fluctuer la température, on l'étudiera après un temps expérimental fixe.

Ici on étudiera la relaxation qui est un phénomène réversible et détectable, se traduisant par une différence de mobilité moléculaire. Il ne faut pas la confondre avec la transition qui est un changement d'état physique (fusion, cristallisation, transition vitreuse... )

Principe de Boltzmann

Principe de Boltzmann : chaque nouvelle contrainte contribue de façon indépendante à la déformation finale

Selon Boltzmann, l'état de contrainte ou de déformation d'un corps viscoélastique dépend de l'ensemble des sollicitations appliquées au matériau.

Chaque nouvelle sollicitation contribue de manière indépendante à l'état final.

Les modèles rhéologiques de base

Corps parfaitement élastiques

La réversibilité entre contrainte et déformation est idéale (il n'y a pas d'effet mémoire du matériau).
Les relations entre contrainte et déformation sont instantanées.
Les relations entre contrainte et déformation sont linéaires.

$\sigma = k \varepsilon$

Le matériau peut être modélisé en mécanique par un ressort. Il n'y a aucune dissipation d'énergie.

Corps parfaitement visqueux

$\sigma = \eta {\mathrm d \varepsilon \over \mathrm dt}$

où $η$ est la constante de Newton.

On a alors $\varepsilon = {\tau_0 \over \eta} t + \varepsilon_0$ ici $ε 0$ représente la déformation d'origine, par conséquent nulle.

On obtient alors $\varepsilon = {\tau_0 \over \eta} t$ .

L'énergie est complètement dissipée sous forme calorifique. Le modèle équivalent en mécanique est celui d'un amortisseur.

Combinaison des modèles

Pour représenter le comportement viscoélastique des différents solides, on peut combiner ces deux modèles équivalents.

Maxwell

Le modèle de Maxwell rend compte du comportement viscoélastique et élastique d'un matériau mais pas de son comportement viscoplastique.

à $t=t_1ˆ-$ , $\varepsilon = \sigma _0 \left( {t_1 \over \eta } + {1 \over k} \right)$
à $t=t_1ˆ+$ , $\varepsilon = \sigma _0 \left( {t_1 \over \eta } + {1 \over k} \right) - {\sigma _0 \over k} = {\sigma _0 \over \eta } t_1$

Voigt

$\varepsilon = B eˆ{-t \over \tau}$

Zener

$\varepsilon (t) = {\sigma _0 \over k_2 } + {\sigma _0 \over k_1 } \left(1-eˆ{-t \over \tau} \right)$ avec $\tau= {\eta \over k_1}$

Burger

$\varepsilon (t) = \sigma _0 \left ( {1 \over k_2 } + {t \over \eta _2} \right) + {\sigma _0 \over k_1} + \sigma _0 \left ( 1-eˆ{-t \over \tau} \right)$ avec $\tau= {\eta _1 \over k_1}$

Dans ce modèle on a les trois composantes :

élastiques avec ${\sigma _0 \over k_2 }$
viscoélastique avec $\sigma _0{t \over \eta _2}$
viscoplastotique avec $\sigma _0 \left ( 1-eˆ{-t \over \tau} \right)$

Comportement dynamique

Étude pratique de la rhéologie des solides

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